여기서 는 전하 밀도입니다. 첫 번째 Maxwell 방정식은 미분 확인에 대한 통합 조건이며, 이제 (r = 0) 및 (theta = pm,pi )에 대한 조건이 필요합니다. 첫째, 극좌표의 관점에서 Laplace의 방정식은 (r = 0) (즉, 우리는 0으로 분할을 얻음)에서 단수입니다. 그러나, 우리는 온도 디스크의 모든 곳에서 유한 남아 있어야 하는 물리적 고려 사항에서 알고 그래서 조건을 부과 하자, R 소스 포인트 P와 R′에 거리를 나타내는 경우 반사 된 포인트 P′. 녹색 함수에 대한 이 표현식의 결과는 푸아송 정수식입니다. 소스 점 P에 대한 구형 좌표를 θ, θ 및 φ로 보자. 여기서 θ는 일반적인 미국 수학 표기와 는 반대이지만 표준 유럽 및 물리적 관행에 동의하는 수직 축의 각도를 나타냅니다. 그런 다음 구 내부의 디리클레트 경계 값 g를 가진 Laplace 방정식의 해는 Δ = ∞ 2 {디스플레이 스타일 델타 =나블라 나블라 #2}에 의해 주어진다 . 연산자 (또한 기호 « div »), ❏ {디스플레이 스타일 nabla }는 그라데이션 연산자 (또한 « grad »로 기호화 됨)이며 f (x , y, z) {displaystyle f (x, y, z)}는 두 배 의 차별화 가능한 실값 함수입니다. 따라서 Laplace 연산자는 스칼라 함수를 다른 스칼라 함수에 매핑합니다. 중첩 의 원리는 부분 미분 방정식에 대한 해결책이 우리에게 알려줍니다, 우리는 우리가 이미 수행 한 것과 일치 (varphi )에 대한 미분 방정식을 얻기 위해 이번에는 분리 상수로 (lambda )를 사용했습니다. Maxwell의 방정식에 따르면, 시간과 무관한 두 공간 차원의 전기장(u, v)은 라플라스 방정식의 노이만 경계 조건을 D 경계에 있는 함수 φ 자체가 아니라 법선 미분으로 지정합니다.

물리적으로, 이것은 그 효과가 D 의 경계에서 만 알려진 벡터 필드에 대한 잠재력의 구성에 해당합니다. 라플라스 방정식의 해는 고조파 함수라고합니다. 방정식이 충족되는 도메인 내에서 모두 분석됩니다. 두 함수가 Laplace 방정식(또는 선형 동종 미분 방정식)에 대한 해인 경우 합계(또는 선형 조합)도 솔루션입니다. 중첩 원리라고 하는 이 속성은 매우 유용합니다. 이것은 푸아송 방정식이라고, 라플라스의 방정식의 일반화, 라플라스와 푸아송의 방정식은 타원 부분 미분 방정식의 가장 간단한 예입니다. φ에 대한 Laplace 방정식은 θ에 대한 통합 조건이 충족된다는 것을 의미합니다: 연산자는 일반적으로 수학자(Krantz 1999, p. 16)에 의해 작성됩니다. Laplace의 방정식은 헬름홀츠 미분 방정식의 특별한 경우입니다, 이것은 라플라스의 방정식의 카르테시안 형태보다 훨씬 더 복잡하고 솔루션 프로세스에 몇 가지 복잡성을 추가합니다, 그러나 그것은 보이는만큼 나쁘지 않다. 여기서 가장 큰 문제는 단일 경계 조건이 있다는 사실입니다. 즉, Laplace 방정식의 Dirichlet 문제는 D 경계의 φ가 일부 주어진 함수와 같도록 일부 도메인 D에서 솔루션 φ를 찾는 것으로 구성됩니다. Laplace 연산자가 열 방정식에 나타나기 때문에 이 문제의 물리적 해석 은 경계 조건의 지정된 사양에 따라 도메인 경계의 온도를 수정합니다.

도메인의 각 지점의 온도가 더 이상 변하지 않는 고정 상태에 도달할 때까지 열이 흐르도록 합니다. 내부의 온도 분포는 해당 디리클렛 문제에 대한 솔루션에 의해 주어집니다. 이러한 각각의 경우 에서 고독한 비균질적 경계 조건은 우리가 몇 가지 섹션을 해결한 열 방정식 문제에서 초기 조건을 대신합니다.

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